Hace muchos años, trabajé en Telxon con Dave Strong. Dave había mencionado que su abuelo haría un truco en el que le pediría a alguien en la habitación cualquier número. Entonces pensaba mucho y construía lenta pero deliberadamente una matriz 4x4. Cada fila, columna y diagonal de números sumaría exactamente el número elegido. Este tipo de figura se llama cuadrado mágico.
El abuelo de Dave fue Walter Wills Strong. Estuvo con la YMCA en Europa durante la Primera Guerra Mundial y sorprendería a las tropas con este truco mental. Cuando Dave me presentó el problema, encontré una solución para crear el cuadrado mágico básico con los números del 1 al 16 que suma 34. Sin embargo, el abuelo de Dave pudo encontrar un cuadrado mágico para cualquier número. Ahora, muchos años después, Dave ha descubierto la fórmula de cómo su abuelo hizo este truco. Con un poco de práctica, puede aprender el truco usted mismo. El consejo de esta semana hablará sobre cuadrados mágicos. Mostrará el proceso utilizado por el abuelo de Dave. También ofrecerá dos archivos de Excel. Un archivo de Excel calcula rápidamente un cuadrado mágico para cualquier número. El otro archivo de Excel intenta replicar la naturaleza mágica de la actuación que el abuelo de Dave debe haber dado,completo con un mago barbudo.
La teoría de un cuadrado mágico básico
Una matriz de números de 4x4 tiene dos diagonales. En la imagen de abajo, una diagonal está compuesta por 4 cuadrados amarillos. Una diagonal se compone de 4 cuadrados rojos. Las 8 celdas de borde restantes son de color verde.
Para construir un Cuadrado Mágico para 34, simplemente escribe los números del 1 al 16 en orden. Hay un giro sencillo. Si está a punto de escribir un número en un cuadrado amarillo o rojo, tendrá que escribir el número en la celda diagonalmente opuesta a ese cuadrado. Por ejemplo, el 1 que iría en la esquina superior izquierda cae sobre un cuadrado amarillo. La celda diagonalmente opuesta a este cuadrado es en realidad el cuadrado 16, en la esquina inferior derecha. En lugar de escribir el 1 en el cuadrado superior izquierdo, escríbalo en el cuadrado inferior derecho.
Los siguientes dos números, 2 y 3, quedarían en cuadrados verdes, así que escríbalos en su lugar habitual. El número 4 caería en un cuadrado rojo, así que en lugar de escribirlo en la esquina superior derecha, escriba el número 4 en la esquina inferior izquierda.
El número 5 se escribe en su lugar correcto. 6 y 7 deben moverse en diagonal, y 8 se escribe en su lugar correcto.
Continúe con este patrón para los números del 9 al 16. Eventualmente terminará con un simple cuadrado mágico que suma 34 en todas las direcciones.
Un giro interesante
El abuelo de Dave dio un giro a esto. Para el abuelo de Dave, tenía la regla opuesta. Todo lo que cayera sobre un cuadrado rojo o amarillo estaba escrito en el lugar correcto. Todo lo que cayera en una celda de borde verde estaba escrito en el cuadrado diagonalmente opuesto. Su cuadrado básico se habría parecido a este.
Le sugiero que aprenda cualquiera de los dos patrones anteriores y que se ciña a él. Usaré el patrón donde los números en las diagonales roja o amarilla se escriben en diagonal opuesta a su ubicación normal.
Crear un cuadrado mágico para cualquier número
El secreto empleado por el abuelo de Dave fue ajustar su número inicial. Usó un cálculo en su cabeza para encontrar un número inicial distinto de 1. Si piensa en las matemáticas, cada suma en el cuadrado mágico se compone de 4 celdas. Si agrega uno a cada celda, el cuadrado mágico totalizaría 38, porque las 4 celdas se incrementarán en 1. Aquí hay un cuadrado mágico creado usando los números enteros del 2 al 17 en lugar de 1 al 16. Suma total a 38 en lugar de 34. Toda la otra lógica sigue siendo la misma.
La clave para crear un cuadrado mágico que suma cualquier número es variar el número inicial. Con un poco de álgebra, puedes entender por qué el número inicial sigue esta fórmula:
((Desired Number - 34) / 4 ) + 1Aquí está el libro de Excel para crear cualquier Cuadrado Mágico deseado: AnyMagicSquare.xls.
Genio del cuadrado mágico
Este libro utiliza macros de Excel VBA. Para que el genio funcione, debe permitir que las macros se ejecuten cuando abra este libro. Para habilitar macros, siga estos pasos antes de descargar el libro de trabajo.
- Abrir Excel
- En el menú, seleccione Herramientas> Macro> Seguridad
- Cambiar la configuración a Medio
- Descargue y abra el libro de trabajo
- A medida que se abre el libro de trabajo, se le notificará que hay macros presentes. Elija Habilitar.
Escribí este programa para simular la actuación del abuelo de Dave. Aunque no es tan impresionante como alguien que hace las matemáticas en persona con un lápiz y un papel, te da una idea de cómo iría la actuación. Haga clic en el Genio para comenzar y le pedirá un número. El Genio luego piensa en el problema.
El genio comienza a completar lentamente los números.
A medida que se completan las filas, los totales de fila y columna se iluminan para indicar que las filas son correctas.
Finalmente, el genio obtiene el cuadrado correcto y se ofrece a hacer otro.
Descarga una versión comprimida de Magic Square Genie.
Un saludo a Dave Strong y su abuelo Walter Wills Strong por transmitir esta técnica.
Para obtener más información sobre el uso de VBA para automatizar los problemas de Excel, consulte VBA y macros para Microsoft Excel, escrito por Bill Jelen y Tracy Syrstad.
Actualización de diciembre de 2005
Otro método que usa solo números enteros
En noviembre de 2005, Ray Battersby escribió que debe haber una forma de hacer un cuadrado mágico para cualquier número por encima de 30 utilizando sólo números enteros sin decimales. Ray identificó que podría agregar de una a cuatro celdas específicas en la matriz. En el Cuadrado Mágico para el 34, ordena los números en orden numérico y toma cada dos celdas comenzando por la más baja. En la imagen de abajo, Ray identificó las celdas que contienen 1, 3, 5 y 7.
Para cambiar esto a un cuadrado mágico de 35, agregue uno a cada una de las celdas amarillas.
Para usar el método de Ray, reste 30 del resultado deseado. Divida ese número por 4. La parte entera se convierte en el dígito inicial y el resto se convierte en el número que agrega a las cuatro celdas amarillas. Por ejemplo, para crear un cuadrado mágico para 33:
- 33-30 es 3
- 3 dividido por 4 es 0 con un resto de 3
- El número inicial es 0 como se muestra como el resultado intermedio a continuación
- Agregue 3 a cada una de las celdas amarillas como se muestra en el Resultado final a continuación
Como señala Ray, esto significa que algunos de los dígitos se repiten en la matriz.
Gracias a Ray por compartir este método.
Actualización de enero de 2008
Richard Letsinger escribió para señalar que el método de Ray funcionaría para cualquier número entero, positivo o negativo. El método no se limita solo a números enteros superiores a 30.
